Metody numeryczne

LABORATORIUM 3
Grupa P, wtorek 26.03.2024, godz 08:30

Metody numeryczne - laboratorium 3

Napisz skrypt, który dokona redukcji poniższego układu:

\(9 x_1 + 8 x_2 - 2 x_3 + 2 x_4 - 2 x_5 = 21\\ 7 x_1 - 3 x_2 - 2 x_3 + 7 x_4 + 2 x_5 = 11\\ 2 x_1 - 2 x_2 + 2 x_3 - 7 x_4 + 6 x_5=-4\\ 4 x_1 + 8 x_2 - 3x_3 + 3 x_4 - x_5 = 16\\ 2 x_1 + 2 x_2 - x_3 + x_4 + 4 x_5 = 9 \)

do postaci z macierzą trójkątną górną, a następnie rozwiąże go.

Wymagania odnośnie zadania (w nawiasach podana punktacja):

  1. Skrypt ma przekształcić układ do postaci, w której możliwe będzie rozwiązanie równań rekurencyjnie, tzn. lewa strona równań, tworząca macierz współczynników, będzie macierzą trójkątną górną. Do redukcji układu należy użyć rozkładu LU opisanego na Wykładzie nr 3 na slajdach od 30 do 35, a realizowanego poprzez fukcję scipy.linalg.lu() [1p]

  2. Wynikiem działania skryptu ma być wyświetlenie na ekranie (w czytelny sposób) macierzy współczynników macierzy trójkątnej górnej i nowego wektora wyrazów wolnych po zakończeniu eliminacji. [1p.]

  3. Po rozwiązaniu powyższego zadania należy rozwiązac układ z macierzą trójkątną górną za pomocą algorytmu przedstawionego na stronie 14 oraz poniżej. [2p.]

  4. Należy sprawdzić poprawność rozwiązania układu równan, gdzie $\mathbf{A}$ to macierz współczynników a $\mathbf{b}$ to kolumnowy wektor wyrazów wolnych, korzystając z funkcji np.linalg.solve(A, b).[1p.]


ALGORYTM ROZWIĄZANIA RÓWNANIA Z MACIERZĄ TRÓJKĄTNĄ GÓRNĄ
$x_n = \frac{b_n}{a_{nn}}$
$x_{i} = \frac{b_i - \sum\limits_{j=i+1}^{j=n}a_{ij}x_j}{a_{ii}}$   dla $i=n-1,n-2,...,1$