LABORATORIUM 6 Grupa NP, czwartek 09.05.2024, godz 12:15
Wersja łatwiejsza (4 pkt)
Napisz skrypt, który - korzystając z metody Eulera i metody Runge-Kutty - numerycznie rozwiąże równanie różniczkowe:
$$ \frac{d y}{d x} = y - x^2 $$z warunkiem początkowym $y(0) = 1$ na przedziale \(x \in \langle 0; 3 \rangle \).
Wybierz krok \(h=0.2\), a następnie sprawdź jak metody zachowują sie dla kroku 10 razy mniejszego i 5 razy większego.
Porównaj ze sobą na jednym wykresie (dla \(h=0.2\)):- rozwiązanie numeryczne z metody Eulera [1.5p.],
- rozwiązanie numeryczne z metody Runge-Kutty IV rzędu [1.5p.],
- rozwiązanie analityczne, (tj. $y = 2 + 2x +x^2-\mathrm{e}^x$) [1.0p.].
Opis metod został przedstawiony na Wykładzie 8.
Wersja trudniejsza (6 pkt)
Napisz skrypt, który rozwiąże numerycznie poniższy układ równań różniczkowych zwyczajnych (zwany układem Roesslera):
przy pomocy metody Rungego-Kutty IV rzędu w 2000 jednostkach czasu na przedziale \(t \in \langle 0, 200 \rangle\) oraz z warunkami początkowymi \(x_0=0, y_0=0, z_0=0\). Wykreśl trajektorię układu, tj. zbiór punktów \((x,y,z)\) tworzących tzw. atraktor Roesslera. Jeśli to możliwe, wykreśl trajektorię dla parametrów: 50000 jednostek czasu na przedziale \(t \in \langle 0, 500 \rangle\), aby zobaczyć pełną dynamikę.
Wymagania odnośnie zadania (w nawiasach podana punktacja):
Skrypt ma za zadanie numeryczne rozwiązanie zadanego układu równań różniczkowych zwyczajnych przy pomocy metody Rungego-Kutty IV rzędu. Zastosowanie metody do rozwiązywania układów równań opisano na slajdach 26-28 Wykładu 8 [4.0p.]
Wyniki działania skryptu, czyli wektory rozwiązań \((x(t),y(t),z(t))\) mają zostać przedstawione na wykresie 3D: sposób wykonania wykresu 3D został przedstawiony np. w dokumentacji matplotlib [UWAGA! Choć przykład odnosi się do układu Lorenza, scałkowanego inną metodą!] [2.0p.]