Metody numeryczne

LABORATORIUM 6
Grupa P, czwartek 16.05.2024, godz 08:30

Metody numeryczne - laboratorium 6

Wersja łatwiejsza (4 pkt)

Napisz skrypt, który - korzystając ze zmodyfikowanej metody Eulera i metody Runge-Kutty - numerycznie rozwiąże równanie różniczkowe:

$$ \frac{d y}{d x} = y - 2\mathrm{e}^x $$

z warunkiem początkowym $y(-1) = 0$ na przedziale \(x \in \langle -1; 1 \rangle \).

Wybierz krok \(h=0.2\), a następnie sprawdź jak metody zachowują sie dla kroku 10 razy mniejszego i 5 razy większego.

Porównaj ze sobą na jednym wykresie (dla \(h=0.2\)):
  1. rozwiązanie numeryczne ze zmodyfikowanej metody Eulera [1.5p.],
  2. rozwiązanie numeryczne z metody Runge-Kutty IV rzędu [1.5p.],
  3. rozwiązanie analityczne, (tj. $y = -2\mathrm{e}^x(1+x)$) [1.0p.].

Opis metod został przedstawiony na Wykładzie 8.


Wersja trudniejsza (6 pkt)

Napisz skrypt, który rozwiąże numerycznie poniższy układ równań różniczkowych zwyczajnych (zwany układem Lorenza lub odwzorowaniem Lorenza):

\( \left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = 10(y-x)\\ \frac{dy}{dt} = x(28 - z) - y\\ \frac{dz}{dt} = xy - \frac{8}{3}z \end{array} \right. \)

przy pomocy metody Rungego-Kutty IV rzędu w 500 jednostkach czasu na przedziale \(t \in \langle 0, 20 \rangle\) oraz z warunkami początkowymi \(x_0=1, y_0=1, z_0=1\). Wykreśl trajektorię układu, tj. zbiór punktów \((x,y,z)\) tworzących tzw. atraktor Lorenza. Jeśli to możliwe, wykreśl trajektorię dla parametrów: 50000 jednostek czasu na przedziale \(t \in \langle 0, 100 \rangle\).

Wymagania odnośnie zadania (w nawiasach podana punktacja):

  1. Skrypt ma za zadanie numeryczne rozwiązanie zadanego układu równań różniczkowych zwyczajnych przy pomocy metody Rungego-Kutty IV rzędu. Zastosowanie metody do rozwiązywania układów równań opisano na slajdach 26-28 Wykładu 8 [4.0p.]

  2. Wyniki działania skryptu, czyli wektory rozwiązań \((x(t),y(t),z(t))\) mają zostać przedstawione na wykresie 3D: sposób wykonania wykresu 3D został przedstawiony np. w dokumentacji matplotlib [UWAGA! Choć przykład też odnosi się do układu Lorenza, jest on scałkowany inną metodą!] [2.0p.]